區間

在數學上，區間是某個範圍的數的搜集，一般以集合形式表示。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間${\displaystyle (10,20)}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之間的實數，但不包括${\displaystyle 10}$或${\displaystyle 20}$。另一方面，閉區間${\displaystyle [10,20]}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之間的實數，以及${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$。

嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集${\displaystyle T}$的子集${\displaystyle S}$，使得若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$均屬於${\displaystyle S}$，且${\displaystyle x<z<y}$，則${\displaystyle z}$亦屬於${\displaystyle S}$。

特別重要的情況是當${\displaystyle T=\mathbb {R} }$。

${\displaystyle \mathbb {R} }$的區間有以下十一種（${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$為實數且${\displaystyle a<b}$）：

1. ${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$
2. ${\displaystyle [a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$
3. ${\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}}$
4. ${\displaystyle (a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}}$
5. ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\mid x>a\}}$
6. ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}}$
7. ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}$
8. ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}}$
9. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$自身，實數集
10. ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$，即單元素集合
11. ${\displaystyle \varnothing }$，即空集

1、5、7稱為開區間（因為它們是開集）；2、6、8、10稱為閉區間（因為它們是閉集）；3、4稱為半開區間、半閉區間或半開半閉區間；而9、11同時為開區間和閉區間，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11為有界區間；5、6、7、8、9為無界區間；10為單點。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$屬於${\displaystyle T}$的某些${\displaystyle y}$，及屬於${\displaystyle S}$的某些${\displaystyle z}$，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集${\displaystyle [a,b]}$及${\displaystyle [c,d]}$：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$是${\displaystyle XY+XZ}$的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，和國際標準化組織編制的ISO 31-11，用${\displaystyle ][}$代替${\displaystyle ()}$來表示开区间，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將${\displaystyle [1,2.3]}$寫成${\displaystyle [1;2,\!3]}$。若只把小數點寫成逗號，就會變成${\displaystyle [1,2,\!3]}$，此時不易判斷究竟是${\displaystyle 1.2}$與${\displaystyle 3}$之間，還是${\displaystyle 1}$與${\displaystyle 2.3}$之間的閉區間。