哥德爾本體論證明

哥德爾本體論證明是數學家库尔特·哥德尔對11世紀意大利僧侶聖安瑟倫對於神存在性的本體論論點整理並改進後所作的數學表達方式。聖安瑟倫後曾有17世紀的莱布尼茨提出了另一個較複雜的宇宙論證版本，而這個就是哥德爾所研究並嘗試用其本體論邏輯論點去澄清的版本。

雖然哥德爾有宗教信仰，他從未發表這個證明。他在1970年代絕食而死的前幾年不斷將這個論點向身邊的朋友們展示，他去世九年後，即1987年，這論點才被出版。

哥德爾的論證證明用上了由他本人及克里普克等20世紀邏輯學家所發展的模态逻辑，分開了必需的真與偶然的真。${\displaystyle \Box }$ 表示必然性，而 ${\displaystyle \Diamond }$ 表示可能性。證明的關鍵在於利用「神可能存在」（定理２）及神的極致性（定義１）去推導出「神必然存在」（定理４）。在S5模態邏輯系統的框架下，這項結論可謂全然有效，因此相當驚人。然而，若使用相同的邏輯推論去假設極致偉大的存有不存在，也同樣沒有任何自相矛盾之處。

證明

聖安瑟倫的論點

11世紀的意大利僧侶聖安瑟倫，其論點用最簡潔的表達如下：「God, by definition, is that than which a greater cannot be thought（i.e.${\displaystyle G(x)\iff \forall \varphi [P(\varphi )\rightarrow \varphi (x)]}$）. God exists in the understanding（i.e.${\displaystyle \Diamond \;\exists x\;G(x)}$）. If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in reality. Therefore, God must exist.${\displaystyle \Box \;\exists x\;G(x)}$」。也就是：

1：神是我們所能想象得到最偉大的存有。

2：神存在於我們的想象之中。

3：如果神存在於我們的想象之中，那麽我們能夠想象出比神更偉大的存在。

推論：神存在。

哥德爾的證明

哥德爾的證明若以符號表達，則如下：

${\displaystyle G}$ 解「像神特性」，${\displaystyle \varphi }$及${\displaystyle \psi }$為任一特性，${\displaystyle P(\varphi )}$ 解 「${\displaystyle \varphi }$ 為正（也可作「善」或「偉大」）特性」， ${\displaystyle \varphi (x)}$ 解「 x 擁有 ${\displaystyle \varphi }$ 特性」，${\displaystyle E}$ 解「必需存在」， ${\displaystyle \varphi \;\operatorname {ess} \;x}$ 解 「${\displaystyle \varphi }$ 是 x 的本質（essence）」，${\displaystyle \Box }$ 表示「必然性」，而 ${\displaystyle \Diamond }$ 表示「可能性」:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mbox{Ax. 0.}}&\Box \;\exists \varphi \;P(\varphi )\\{\mbox{Ax. 1.}}&\Box [(\;\forall x\lbrace [\varphi (x)\rightarrow \psi (x)]\land P(\varphi )\rbrace )\rightarrow P(\psi )]\\{\mbox{Ax. 2.}}&P(\neg \varphi )\leftrightarrow \neg P(\varphi )\\{\mbox{Th. 1.}}&P(\varphi )\rightarrow \Diamond \;\exists x\;[\varphi (x)]\\{\mbox{Df. 1.}}&G(x)\iff \forall \varphi [P(\varphi )\rightarrow \varphi (x)]\\{\mbox{Ax. 3.}}&P(G)\\{\mbox{Th. 2.}}&\Diamond \;\exists x\;G(x)\\{\mbox{Df. 2.}}&\varphi \;\operatorname {ess} \;x\iff \varphi (x)\land \forall \psi \lbrace \psi (x)\rightarrow \Box \;\forall y[\varphi (y)\rightarrow \psi (y)]\rbrace \\{\mbox{Ax. 4.}}&P(\varphi )\rightarrow \Box \;P(\varphi )\\{\mbox{Th. 3.}}&G(x)\rightarrow G\;\operatorname {ess} \;x\\{\mbox{Df. 3.}}&E(x)\iff \forall \varphi [\varphi \;\operatorname {ess} \;x\rightarrow \Box \;\exists y\;\varphi (y)]\\{\mbox{Ax. 5.}}&P(E)\\{\mbox{Th. 4.}}&\Box \;\exists x\;G(x)\end{array}}}$

語譯

語譯

公設 0：在所有特性中挑出正特性${\displaystyle \varphi }$是可能的。（i.e.在所有特性當中，我們總得界別其中一些為善，否則定義善特性已經沒意思了。）

公設 1：任何由一個正特性${\displaystyle \varphi }$所導出的特性${\displaystyle \psi }$必然為正。

公設 2：假如一個特性${\displaystyle \varphi }$的邏輯非為正，那${\displaystyle \varphi }$為非正。（i.e.特性${\displaystyle \varphi }$與非${\displaystyle \varphi }$必為一善一邪）

定理 1：如果一個特性${\displaystyle \varphi }$為正，那它是相容（consistent）的，即是，${\displaystyle \varphi }$可能找得到例子（exemplified）。（i.e.世上總有些善的東西。）

定義 1：x像神若且唯若x擁有所有正特性。（i.e.擁有所有善特性的才能稱得上神）

公設 3：像神特性G為正（i.e.能稱得上神，是一種善的特性）

定理 2：可能存在一個物體x像神（i.e.神可能存在）。

定義 2：${\displaystyle \varphi }$是x的本質（essence）若且唯若「${\displaystyle \varphi }$是x的特性」及「對於x所擁有的每一個特性${\displaystyle \psi }$，對所有y而言${\displaystyle \psi }$皆由${\displaystyle \varphi }$而來」

公設 4：假如一個特性${\displaystyle \varphi }$為正，那${\displaystyle \varphi }$必需為正。

定理 3：假若一件物體x像神，那使其像神的特性G是x的本質（essence）。

定義 3：x必需存在若且唯若x的每一個本質（essence）${\displaystyle \varphi }$必需能找得到例子（exemplified）

公設 5：「必需存在」此特性（名為特性E），為正。

定理 4：像神的特性G必定能找到例子（exemplified）（i.e.即神存在）。

定理 1至4的證明

Th. 1的證明

${\displaystyle \lnot \ \Diamond \ \exists x[\varphi (x)]}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \lnot \ \exists x[\varphi (x)]}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \forall x[\lnot \ \varphi (x)]}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \forall x\lbrace \forall \psi [\psi (x)\rightarrow \lnot \ \varphi (x)]\rbrace }$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \forall x(\lbrace \forall \psi [\psi (x)\rightarrow \lnot \ \varphi (x)]\rbrace \land \Box \ \exists \alpha P(\alpha )){\mbox{ (i.e. 由 Ax. 0)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \forall x([\alpha (x)\rightarrow \lnot \ \varphi (x)]\land P(\alpha ))}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \ \forall x([\alpha (x)\rightarrow (\lnot \ \varphi )(x)]\land P(\alpha )){\mbox{ (i.e.}}\ (\lnot \ \varphi )(x){\mbox{ 的 定 義 為 }}\ \lnot \ (\varphi (x))}$

${\displaystyle \rightarrow P(\lnot \ \varphi ){\mbox{ (i.e. 由 Ax. 1)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \lnot \ P(\varphi ){\mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}}\;}$

${\displaystyle \therefore P(\varphi )\rightarrow \Diamond \ \exists x[\varphi (x)]}$

Th. 2的證明

${\displaystyle P(G){\mbox{ (i.e. 由 Ax. 3)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \Diamond \ \exists x[G(x)]{\mbox{ (i.e. 由 Th. 1)}}\;}$

Th. 3的證明

Lemma 1:

${\displaystyle \forall \varphi [P(\varphi )\rightarrow \varphi (x)]}$

${\displaystyle \rightarrow \forall \varphi [P(\lnot \varphi )\rightarrow (\lnot \varphi )(x)]}$

${\displaystyle \rightarrow \forall \varphi [\lnot P(\varphi )\rightarrow \lnot \varphi (x)]{\mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \forall \varphi [P(\varphi )\leftarrow \varphi (x)]}$

Lemma 2:

${\displaystyle G(x)\iff \forall \varphi [P(\varphi )\rightarrow \varphi (x)]{\mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \lbrace G(x)\iff \forall \varphi [P(\varphi )\iff \varphi (x)]\rbrace {\mbox{ (i.e. 由 Lemma 1)}}\;}$

Lemma 3:

${\displaystyle \Box \forall y\lbrace G(y)\iff \forall \varphi [P(\varphi )\rightarrow \varphi (y)]\rbrace {\mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow \Box \forall y(\forall \varphi \lbrace [G(y)\land P(\varphi )]\rightarrow \varphi (y)\rbrace )}$

${\displaystyle \rightarrow \forall \varphi \lbrace P(\varphi )\rightarrow [\Box \forall y(G(y)\rightarrow \varphi (y))]\rbrace }$

Th. 3的證明:

${\displaystyle G(x)\rightarrow G(x)\land \forall \varphi \lbrace \varphi (x)\rightarrow P(\varphi )\rbrace {\mbox{ (i.e. 由 Lemma 2)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow (G(x)\land \forall \varphi \lbrace \varphi (x)\rightarrow [\Box \forall y(G(y)\rightarrow \varphi (y))]\rbrace ){\mbox{ (i.e. 由 Lemma 3)}}\;}$

${\displaystyle \rightarrow G\;\operatorname {ess} \;x{\mbox{ (i.e. 由 Df. 2)}}\;}$

Th. 4的證明

證明中用到的公設

哥德爾證明中的公設有5項：

公設 0: 在所有特性中挑出正特性是可能的。哥德爾定義正特性頗不清晰：「正解作在道德美學上為正（independently of the accidental structure of the world）......It may also mean pure attribution as opposed to privation (or containing privation)." (Gödel 1995)

然後我們假設對於所有正特性，以下幾個條件正確（可被總結為「那些正特性們形成了一個超滤子」）：

公設 1: 假如 φ 為正特性且 φ 導出 ψ，那 ψ 也是正。

公設 2: 假如 φ 是一個特性，那要麼φ與其邏輯非——「非φ」，有一個且只有一個為正特性。

公設 3: 「像神特性」G乃是正特性

公設 4: 若φ為正特性，則其必需為正特性。

公設 5: 必需存在性E是一個正特性。This mirrors the key assumption in Anselm's argument.

批評

對哥德爾本體論證明的大部份批評，皆在於其公設部份。正如任何邏輯系統，假如其所依賴的公設備受懷疑，則結論也會受到懷疑。此情況特別適用於哥德爾的證明，因為其所依賴的5條公設，全部也是可以質疑的。此證明並不表示其結論正確，但假如你接受了那些公設，結論就是正確的。

很多哲學家質疑這些公設。第一層的攻擊，在於指出沒有任何理據技持為何這些公設為正確。第二層則是這些公設帶來一個不受歡迎的結論

参见

• 本体论证明
• 绝对无限
• 宗教哲学
• 有神论

參考文獻

• C. Anthony Anderson, "Some Emendations of Gödel's Ontological Proof", Faith and Philosophy, Vol. 7, No 3, pp. 291–303, July 1990
• Kurt Gödel (1995). "Ontological Proof". Collected Works: Unpublished Essays & Lectures, Volume III. pp. 403–404. Oxford University Press. ISBN 0195147227
• A. P. Hazen, "On Gödel's Ontological Proof", Australasian Journal of Philosophy, Vol. 76, No 3, pp. 361–377, September 1998
• Jordan Howard Sobel, "Gödel's Ontological Proof" in On Being and Saying. Essays for Richard Cartwright, ed. Judith Jarvis Thomson (MIT press, 1987)
• Melvin Fitting, "Types, Tableaus, and Godel's God" Publisher: Dordrecht Kluwer Academic ©2002, ISBN 9781402006043

外部連結

• Kurt Gödel's Ontological Argument
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ontological ArgumentArchived 2012-10-31 at WebCite