有限域算术

在数学之中，有限域算术是一种在有限域之内的算术，因为域仅包括有限数量的元素，而有限域算术则相对于无限域算术，后者是包括无限数量的元素的算术（如在有理数之下的算术）。

由于并没有任何有限域是无限的，因此存在着无限多个不同的有限域。它们的势需要是能够在pⁿ的形式下，这其中的p是一则素数，而n则是一则正整数，同时两个持有等量的有限域可以构成同构。素数p被称之为有限域的特征，而正整数n则被称之为有限域的向量空间的维数，凌驾于它的最初域之上，最初域为最小的包括1F的子域。

有限域应用于各种领域，这其中包括在线性分组码之内的编码理论，譬如BCH码和里德-所罗门码，还有在密码学之中的演算法，比如Rijndael加密法之下的加密算法。

实效多项式表示

持有pⁿ元素的有限域可由GF(pⁿ)（同时可被${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$, F_pⁿ}）所表示，被命名为伽罗瓦域, 以荣誉有限域学说的创始者埃瓦里斯特·伽罗瓦. GF(p)（同时可表示为Z/pZ, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, 或F_p), 其中p为一则素数, GF(p)简明称之为就是，一个环整数群模除 p之后，而得到的结果. 这表明是,可以在整数范围中，先行执行常规运算(加法,减法,乘法), 然后模除p而以简化，举例说明, 在GF(5)内, 4 + 3 = 7被简化为2，因为是7模除5的结果。 除法则是在模除p的倒数上实施乘法, 并且可以选择使用扩展欧几里得算法来计算。

一则特别的范例就是GF(2), 其加法为XOR,而乘法是AND. 由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恆等函數。

GF(pⁿ)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式, 例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行: 先按常规计算W = P⋅Q, 然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法）。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(pⁿ)的元素表示为二进制数, 按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。举例说明, 下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式: x⁶ + x⁴ + x + 1

二进制: {01010011}

十六进制: {53}

加法和减法

加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR. 因此，

多项式: (x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1

二进制: {01010011} + {11001010} = {10011001}

十六进制: {53} + {CA} = {99}

在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2x⁶. 但在有限域的加法下， 0x⁶则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

p1	p2	p1 + p2 (normal algebra)	p1 + p2 in GF(2^n)
x^3 + x + 1	x^3 + x^2	2x^3 + x^2 + x + 1	x^2 + x + 1
x^4 + x^2	x^6 + x^2	x^6 + x^4 + 2x^2	x^6 + x^4
x + 1	x^2 + 1	x^2 + x + 2	x^2 + x
x^3 + x	x^2 + 1	x^3 + x^2 + x + 1	x^3 + x^2 + x + 1
x^2 + x	x^2 + x	2x^2 + 2x	0

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2ⁿ) 伽罗瓦域, 使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法

乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说, 乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的發音近於"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域， 同时可被称之为伽罗瓦域GF(2⁸). 在乘法上它依赖下列简约多项式。

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1.

例如, {53} • {CA} = {01} 因为在Rijndael域中

   (x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

与

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制), 同时可被长除法所表示, (使用二进制注释. 注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。):

                        
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011     
           1110000011110
          ^100011011    
            110110101110
           ^100011011   
             10101110110
            ^100011011  
              0100011010
             ^00000000  
               100011010
              ^100011011 
                00000001

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)