楊對稱化子

Young對稱化子(英語：Young symmetriser)是表示論中的一種工具，用作對稱羣${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$的唔約得表示。

設

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$是 對稱羣
• ${\displaystyle \mathbb {C} {\mathfrak {S}}_{d}}$是${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$的羣環
  • ${\displaystyle e_{g}}$是它的基
• ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda _{k})}$
  • 其中${\displaystyle \lambda _{1}+\cdot \cdot \cdot +\lambda _{k}=d}$是整數d 的分解(partition)，这些${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},......}$越來越小。
• Y是相應的Young diagram
• P={${\displaystyle g\in {\mathfrak {S}}_{d}}$| g 保存每一行}
• Q={${\displaystyle g\in {\mathfrak {S}}_{d}}$| g 保存每一列}
• ${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P}e_{g}\in \mathbb {C} {\mathfrak {S}}_{d}}$
• ${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}(-1)^{g}e_{g}\in \mathbb {C} {\mathfrak {S}}_{d}}$

这样

• ${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }\in \mathbb {C} {\mathfrak {S}}_{d}}$

就叫楊對稱化子(Young symmetriser)

参考书目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45