波尔文积分

波尔文积分（英語：）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文（David Borwein）和乔纳森·波尔文共同发表了这个涉及sinc函数的积分[1]。

常见的例子为：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

这种规律一直到

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

参考资料

1. Borwein, David; Borwein, Jonathan M., [sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 （英语）