牟合方盖

牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因為像是兩個方形的蓋子合在一起，所以被稱作「牟合方蓋」。

牟合方蓋圖形

阿基米德與祖沖之分別用不同方法計算出球体的體積是 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ，r為圓柱半徑。祖沖之使用的方法正是通过计算出牟合方蓋的体积为 ${\frac {16}{3}}r^{3}$ ，从而推出了球体体积的计算公式。

初出

《九章算術》中曾認為，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等於正方形與其內切圓面積之比。魏國數學家劉徽在他為《九章算術》作的註釋中指出，原書的說法是不正確的，只有「牟合方蓋」（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比，也就是：

球体积

{\displaystyle

牟合方盖体积

=\pi :4\,

但劉徽沒有給出牟合方蓋的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

推導

一直到南北朝時，數學家祖冲之和其子祖暅之才另創新法求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀錄在唐代李淳風為九章算數作的注解中，留傳至今。

（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

在這一段說明的形狀可以看做是一個 ${\tfrac {1}{8}}$ 的牟合方蓋，外接一個立方體； ${\tfrac {1}{8}}$ 的牟合方蓋即是「內棋」，立方體減去內棋的餘部即為「外棋」。

更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。

現在將內外棋橫向切開。內棋的截面是正方形，可以用勾股弦定理求出其邊長與圓半徑的關係式。令圓半徑（立方體邊長）為 r，底面到截面的高為 h ，則正方形邊長為 ${\sqrt {r^{2}-h^{2}}}$ ，面積為 $r^{2}-h^{2}$ ；也就是說外棋截面的面積為 $r^{2}-(r^{2}-h^{2})=h^{2}$ 。

按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。

現在以立方體的一個底面和底面以外的一個頂點作一個四角錐（這個形狀稱為陽馬）。對陽馬距離角錐h處橫向切開，則截面是一個正方形，面積等於 $h^{2}$ 。

祖氏父子在此解釋：所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等。這就是今天所稱的「祖暅原理」。套用此定理，

外棋的截面積

=\,

陽馬的截面積

=h^{2}\,

所以外棋體積也等於陽馬體積。

三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。

《九章算术》中已有提到，阳马的体积等于其外接立方体的体积的 ${\tfrac {1}{3}}$ [1]，所以內棋的體積是立方體的 ${\tfrac {2}{3}}$ ，即 ${\tfrac {2r^{3}}{3}}$ 。由於內棋是牟合方蓋的 ${\tfrac {1}{8}}$ ，故牟合方蓋的體積為

{\frac {2}{3}}\times 8={\frac {16}{3}}r^{3}

。

而球體體積即為

{\frac {16}{3}}r^{3}\times {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

。

註釋

《九章算術》卷第五「商功」，十五問。

參考資訊

祖沖之、球體公式及其他，EpisteMath | 數學知識
《缀术》中的开立圆术，中文數學數字圖書館
於Google SketchUp 3D 模型庫的「牟合方蓋」立體模型 Archive.is的存檔，存档日期2013-01-24

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[1] 《九章算術》卷第五「商功」，十五問。