离散正弦转换

離散正弦轉換(DST,Discrete Sine Transform)是與離散傅立葉轉換類似的一種轉換，但是只使用純實數。離散正弦變換相當於在離散傅立葉轉換虛部的一個長度為兩倍的轉換，這個轉換是對一個實數奇對稱函數進行操作(因為一個實數奇對稱函數的傅立葉轉換為虛數奇對稱)，在有些變形中，需要將輸入或輸出位置平移半個取樣單位。離散正弦轉換有8種標準型態(8 types)。

有一個相關的變換是離散餘弦變換(DCT, Discrete Cosine Transform)，其相當於一個長度大概是它兩倍的實數偶對稱函數離散傅立葉變換。

應用

離散正弦轉換經常在信號處理中被使用，常用來在特定狀況下替代離散傅立葉轉換，用以簡化運算。此代換常在頻譜分析或計算摺積使用。例如在計算摺積時，當函數x[n]為奇對稱函數時，N點的離散傅立葉轉換可以被 (N/2 −1)點離散正弦轉換(type 1) 取代。

離散正弦轉換常藉由光譜方法被用來解偏微分方程式，此時離散正弦轉換的不同的變數對應著方程式兩端不同的奇/偶邊界條件。

定義

離散正弦轉換形式上為一個線性可逆函數 ${\displaystyle F:R^{N}}$→${\displaystyle R^{N}}$(R為實數集合)，或可視為一 ${\displaystyle N\times N}$ 方陣。離散正弦變換有幾種不同的變形，皆根據以下8種公式之一把N個實數${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$變換到另N個實數${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$。

DST-Ⅰ

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

DST-Ⅰ矩陣是一個正交(orthogonal)矩陣。

DST-Ⅰ完全等同於對一個實數數列第零點與中間點奇對稱，比例${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$的離散傅立葉轉換。例如，對一個N=3的實數數列(a,b,c)做DST-Ⅰ等同於對一個8個實數的奇對稱數列(0,a,b,c,0,-c,-b,-a)做離散傅立葉轉換結果的前半(與此相反的是，DST Ⅱ-Ⅳ在換成等校離散傅立葉轉換時包含半個取樣單位的位移)。這是因為正弦函數的分母為${\displaystyle N+1}$，這表示等校的離散傅立葉轉換有${\displaystyle 2(N+1)}$個點，且相位頻率為${\displaystyle {\frac {2\pi }{2(N+1)}}}$，故DST-Ⅰ的頻率為${\displaystyle {\frac {\pi }{N+1}}}$。

因而DST-I對應的邊界條件是：${\displaystyle x_{n}}$對n = -1奇對稱，也對n = N奇對稱；${\displaystyle X_{k}}$也類似。

DST-Ⅱ

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

若進一步將${\displaystyle X_{(}N-1)}$乘上${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$(可參考DST-Ⅲ的相似變化)，可以使DST-Ⅱ矩陣是一個正交(orthogonal)矩陣，但會破壞與實數奇對稱離散傅立葉轉換在輸入平移半取樣單位後的直接對應關係。

DST-Ⅱ對應的邊界條件是：${\displaystyle x_{n}}$對n = -1/2奇對稱，也對n = N-1/2奇對稱；${\displaystyle X_{k}}$對k = -1奇對稱，對k=N-1偶對稱。

DST-Ⅲ

${\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

若進一步將${\displaystyle X_{(}N-1)}$乘上${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$(可參考DST-Ⅱ的相似變化)，可以使DST-Ⅲ矩陣是一個正交(orthogonal)矩陣，但會破壞與實數奇對稱離散傅立葉轉換在輸出平移半取樣單位後的直接對應關係。

DST-Ⅲ對應的邊界條件是：${\displaystyle x_{n}}$對n = -1奇對稱，對n = N-1偶對稱；${\displaystyle X_{k}}$對k = -1/2奇對稱，也對k=N-1/2奇對稱。

DST-Ⅳ

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

DST-Ⅳ矩陣是一個正交(orthogonal)矩陣。

DST-Ⅳ對應的邊界條件是：${\displaystyle x_{n}}$對n = -1/2奇對稱，對n = N-1/2偶對稱；${\displaystyle X_{k}}$也類似。

DST Ⅴ-Ⅷ

DST Ⅰ-Ⅳ等校於實數奇對稱離散傅立葉轉換的偶次方，理論上存在其他類型的離散正弦轉換(DST Ⅴ-Ⅷ)，其等校於實數奇對稱離散傅立葉轉換的奇次方，但實際上這些變形在現實中很少使用。

反轉換

DST-Ⅰ的反變換是把DST-Ⅰ乘以${\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}$。 DST-Ⅳ的反變換是把DST-Ⅳ乘以${\displaystyle {\frac {2}{N}}}$。 DST-Ⅱ的反變換是把DST-Ⅲ乘以${\displaystyle {\frac {2}{N}}}$，DST-Ⅲ的反變換則是把DST-Ⅱ以${\displaystyle {\frac {2}{N}}}$。

與離散傅立葉轉換相同的是，歸一係數的定義因人而異，例如有人會在轉換式前乘上${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{N}}}}$，使反轉換和轉換在形式上更相似，而不需要再乘上額外的歸一係數。

相關條目

• 離散傅立葉轉換
• 離散餘弦轉換

參考資料

• S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
• Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ 页面存档备份，存于. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 12.4.1. Sine Transform", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• R. Chivukula and Y. Reznik, "Fast Computing of Discrete Cosine and Sine Transforms of Types VI and VII," Proc. SPIE Vol. 8135, 2011. [1]