累积分布函数

累积分布函数（Cumulative Distribution Function，簡寫作cdf），又叫分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量X的概率分佈。

對於所有實數x ，累积分布函数定義如下：

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

性質

• 有界性[1]
  • ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}$
• 單調性：
  • ${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}$
• 右連續性：
  • ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}$

X之值落在一區間(a,b]之內的機率為

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

一隨機變數X的CDF與其PDF的關係為

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}$

反函数

若累积分布函数 F 是连续的严格增函数，则存在其反函数${\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}$。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若${\displaystyle F_{X}(x)}$是概率分布X的累积分布函数，并存在反函数${\displaystyle F_{X}^{-1}}$。若a是[0,1)区间上均匀分布的随机变量，则${\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}$服从X分布。

互补累积分布函数

互补累计分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于a的值，其出现概率的和。

${\displaystyle F(a)=P(x>a)}$

參見

• 機率密度函數
• 機率質量函數

參考

1. 《概率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍