負頻率

正頻率與負頻率的概念可以簡單地用順時針或逆時針轉動的輪子來闡釋：帶有正、負號的頻率值能夠顯示出轉動方向與變化率。變化率使用轉數每秒（赫茲）或弧度每秒作為單位（1轉為2π弧度）。

正弦波

令 ω 為一非負參數，其單位為 rad/sec。如此一來，其角函數(角度 vs. 時間) - ωt + θ 具有斜率 -ω，稱為負頻率。但是當函數被用來作為餘弦運算符的參數時，其結果便與 cos(ωt − θ) 沒有區別。同樣的， sin(−ωt + θ) 亦與 sin(ωt − θ + π) 沒有區別。因此，任何正弦曲線皆能以正頻率來表示，相位斜率所帶有的正負號不再具有意義。

負頻率導致正弦函數(紫線)領先餘弦函數(紅線) 1/4 圈。

向量 (cos t, sin t) 以 1 rad/sec 的角速度逆時針旋轉，每 2π 秒轉一圈。向量 (cos -t, sin -t) 以相反方向旋轉 (未顯示)

同時觀察餘弦與正弦運算子時，便能夠解決其模稜兩可的狀態，因為 cos(ωt + θ) 領先 sin(ωt + θ) 1/4 圈 ( = π/2 弧度)。當 ω > 0 ，且落後 1/4 圈當 ω < 0。同理，一個向量 (cos t, sin t) 以 1 rad/sec 的角速度逆時針轉動並每 2π 秒轉完一圈，且向量 (cos −t, sin −t) 以另一個方向轉動。

ω 的正負號亦在負函數中被保留下來 :

${\displaystyle e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},}$     [1]

(Eq.1)

因為 R(t) 與 I(t) 能被分別提出比較。雖然 ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ 顯然包含較多資訊相較於它的分量。一個常見的解釋是它是個比較簡潔的函數，因為 :

• 它簡化了許多重要的三角運算，從而將其正是描述為 的解析表示。
• 一個Eq.1 的等式是為 :

${\displaystyle \cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),}$

(Eq.2)

這引出了 ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ 同時包含正負頻率。但其和事實上是被抵銷的，因此其所帶有的資訊是更少的而非更多的。

應用

也許最為人熟知的負頻率應用在於運算式 :

${\displaystyle X(\omega )=\int _{a}^{b}x(t)\cdot e^{-i\omega t}dt,}$

這是個在區間 (a, b) 的函數 x(t) 中，頻率 ω 的量度。再理論間隔(−∞, ∞)上作為 ω 的連續函數求值時，他被稱為 x(t) 的傅立葉轉換。一個簡單的解釋是，兩個複數正弦波的乘積也是複數正弦波，其頻率為原始頻率的總和。因此，當 ω 為正，${\displaystyle e^{-i\omega t}}$ 使得所有 x(t) 的頻率減少 ω。x(t) 處於頻率為 ω 時的任何部分都將變為零頻率，這只是一個常數，其振幅水平為其初始 ω 含量強度的量度。而 x(t) 任何處於零頻率的部分都會變成一個頻率為 -ω 的正弦波。相同地，所有其他頻率將變為非零頻率。當區間 (a,b) 增加，常數向貢獻將會成正比成長。但是正弦波項的貢獻僅會在零附近震盪。因此 X(ω) 作為在 x(t) 中頻率值 ω 的相對量度將會提高。

${\displaystyle e^{i\omega t}}$ 的傅立葉轉換僅會在頻率為 ω 時產生一個非零響應。cos(ωt) 的轉換於 ω 與 -ω 處皆具有響應，如同 Eq.2所預測的一樣。

正負頻率採樣和混疊

這張圖描述兩個負數正弦波，分別為金色與青色曲線，它們能夠描繪在同一組實部與虛部之取樣點。當以網格線指示的速率(fs)採樣時，他們互相頻疊。金色曲線函數描述正頻率，因為其實部(餘弦函數)領先其虛部 1/4 圈。金色曲線則描述了一個負頻率，因為其實部落後其虛部。

注釋

1. The equivalence is called Euler's formula

參考資料

• Positive and Negative Frequencies
• Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.