贝特朗判别法

贝特朗判别法（Bertrand's test）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如${\displaystyle \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln {n}}$序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或库默尔判别法的推论。

定理

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是欲判断敛散性的级数，定义序列

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.}$

设它具有极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}}$

那么：

• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}>1}$，级数收敛；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}<1}$，级数发散；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}=1}$，则级数的敛散性暂时不能确定[1]。

1. Г. М. 菲赫金哥尔茨. 第二版. 2006: 230. ISBN 978-7-04-018304-7.