阿達瑪乘積 (矩陣)

在数学中，哈达玛积 (又名舒尔积[1]或逐项积[2]^{:ch. 5}) 是一个二元运算，其输入为两个相同形状的矩阵，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。

作用在两个相同形状的矩阵上的哈达玛积，结果是第三个相同形状的矩阵。

定义

若两个矩阵A和B具有相同的维度m × n，则它们的哈达玛积A ∘ B是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为：

${\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

对于维度不相等的矩阵(m × n矩阵和 p × q矩阵，其中m ≠ p 或n ≠ q)，哈达玛积没有定义。

样例

${\displaystyle 3\times 3}$矩阵A与${\displaystyle 3\times 3}$矩阵B的哈达玛积为：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}.}$

性质

哈达玛积满足交换律 (当其元素属于交换环时), 结合率和对加法的分配律：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} .\end{aligned}}}$

对哈达玛积而言，m × n矩阵的单位矩阵是全部元素均为1的m × n矩阵。这跟普通矩阵乘积的只有主对角线上的元素为1的单位矩阵不同。

参考资料

1. Davis, Chandler. . Numerische Mathematik. 1962, 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. . Cambridge University Press. 2012.