五複合正四面體

在幾何學中，五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形[3]，屬於星形二十面體[4]，也是唯一五種正複合體之一[5]，其索引編號為UC5。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型，其中也收錄了五複合正四面體，並將之給予編號W24[6]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為47[7]，但這個多面體最早是由埃德蒙·赫斯在1876年發現並描述的。

五複合正四面體

(點選檢視旋轉模型)
類別複合正多面體
面20
邊30
頂點20
歐拉特徵數F=20, E=30, V=20 (χ=10)
面的種類本身結構
五個正四面體
考克斯特符號{5,3}[5{3,3}] {3,5}[2]
對稱群手性二十面體群 (I)
參考索引UC5, W24
對偶五複合正四面體
旋轉對稱群手性四面體群 (T)
星狀圖星狀核凸包
正二十面體
正十二面體

性質

五複合正四面體為五個正四面體組合成的形狀，由於沒有頂點共用的情況，因此其邊、面和頂點的數量為正四面體的5倍，共有20個面、30條邊和20個頂點。

結構

五複合正四面體可以視為正十二面體刻面後的多面體，在正十二面體凸包中每個正四面體定位在12個頂點中的其中4個頂點。也因此，正十二面體有相同的頂點佈局。[8]

實體的五複合正四面體的旋轉模型

五複合正四面體可以透過將正四面體置於旋轉的二十面體群 (I)構造

其也可以利用20組3個凹五邊形組合起來構造，如上圖。這種凹五邊形有三種邊長，其中有兩組等長邊，較長的等長邊長度為黃金比例倒數的二平方根倍，為，較短的等長邊長度為黃金比例平方的倒數，為，另外一邊長度為黃金比例平方倒數的二平方根倍。這種方法由溫尼爾提出[10]。

這種形狀也正是每個正四面體露出來的部分。


球面鑲嵌
透明的模型
(旋轉模型)
五個互交叉的四面體

頂點座標

由於五複合正四面體可以看作是在正十二面體中嵌入正四面體，因此其頂點座標與正十二面體相同：

(±1, ±1, ±1)、
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)、
(±1/ϕ, ±ϕ, 0)、
(±ϕ, 0, ±1/ϕ)。

其中ϕ = 1 + √5/2為黃金比例。

作為星形多面體

五複合正四面體是一種星形二十面體，其星狀核為正二十面體、凸包為正十二面體，在杜·瓦爾記號中以Ef1d表示。

星狀圖星形星狀核凸包

正二十面體
正十二面體

其他的五複合正四面體
  • 琳弦締吉（Linkshändige）的版本
  • 雷克弦締吉（Rechtshändige）的版本

相關多面體

五複合正四面體與其手性鏡像可組合出十複合正四面體，也就是說十複合正四面體可以看作是兩個五複合正四面體的複合體[11]。

參見

參考文獻
  1. Wenninger, Magnus. . Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
  1. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  2. Regular Polytopes (1973)[1], p.98
  3. Wang, P. . 加利福尼亞理工學院 計算機科學組. [2016-09-01]. （原始内容存档于1999-09-13）. Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra.
  4. Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." 页面存档备份，存于 Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
  5. Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
  6. Wenninger, Magnus. . Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
  7. H·S·M·考克斯特. . H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
  8. . 國立清華大學. [2017-02-28]. （原始内容存档于2017-03-01）.
  9. Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202
  10. advocated by Wenninger, 1989[9]pp. 44
  11. Cundy and Rollett, 1989[9] pp. 139-141

外部連結
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