初等函数

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有限次乘方、有限次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。

一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

常函数

称${\displaystyle f(x)=C}$为常数函数，其中C为常数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。

幂函数

称形如${\displaystyle f(x)=Cx^{r}}$的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，但是不管r取何值，该函数在${\displaystyle (0,+\infty )}$上总有意义。

指数函数

称形如${\displaystyle f(x)=a^{x}}$的函数为指数函数，其中a是常数，${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$。该函数的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle (0,+\infty )}$

对数函数

称形如${\displaystyle y=\log _{a}x\!}$的函数为对数函数，其中${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$，是指数函数${\displaystyle y=a^{x}}$的反函数。该函数定义域为${\displaystyle (0,+\infty )}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

三角函数

正弦函数

称形如${\displaystyle f(x)=\sin x}$的函数为正弦函数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

余弦函数

称形如${\displaystyle f(x)=\cos x}$的函数为余弦函数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

正切函数

称形如${\displaystyle f(x)=\tan x}$的函数为正切函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle \pi }$。

余切函数

称形如${\displaystyle f(x)=\cot x}$的函数为余切函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle \pi }$。

正割函数

称形如${\displaystyle f(x)=\sec x}$的函数为正割函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

余割函数

称形如${\displaystyle f(x)=\csc x}$的函数为余割函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

反三角函数

其它常见初等函数

双曲函数

双曲正弦函数：${\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$
双曲余弦函数：${\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
双曲正切函数：${\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

反双曲函数

反双曲正弦函数：${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$
反双曲正切函数：${\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}$

扩展阅读

• Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. 页面存档备份，存于

外部链接

• Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics页面存档备份，存于
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.