顺序统计量

在统计学中，样本的第${\displaystyle k}$顺序统计量（英語：）即它从小到大排列时的第${\displaystyle k}$个值，常用于非参数估计与推断中。常见的顺序统计量包括样本的最大值、最小值、中位数等。

记号

任给样本${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$，将其从小到大排成一列，记为：

$${\displaystyle x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.}$$

则其第一顺序统计量（即最小值）为${\displaystyle x_{(1)}}$，第${\displaystyle n}$顺序统计量（即最大值）为${\displaystyle x_{(n)}}$。

概率

随机变量${\displaystyle X_{(k)}}$的累积分布函数${\displaystyle F_{k}(x)}$由下式给出[1]

$${\displaystyle F_{k}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,}$$

将累积分布函数求导可得其概率密度函数${\displaystyle f_{k}(x)}$为

$${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .}$$

参考文献

1. . www.math.uah.edu. [2016-07-28].